L'Intersezione fra un insieme \(A\) ed un insieme \(B\) è l'insieme delle \(x\) appartenenti ad \(A\) tali che \(x\) appartiene a \(B\).
$$
\begin{array}{c}
A \cap B = {x \in A : x \in B}
\end{array}
$$
Proprietà Algebriche
\[
\begin{array}{c}
A \cap B = B \cap A \\
A \cap A = A \\
A \cap \emptyset = \emptyset \\
\\
\text{Proprietà Associativa} \\
A \cap (B \cap C) = (A \cap B) \cap C \\
\\
\text{Definizione di Sottoinsieme attraverso l'Intersezione} \\
A \cap B = A \text{ se e solo se } A \subseteq B \\
\end{array}
\]
Esempio
\[
\begin{array}{c}
\text{Dimostrazione della Proprietà Associativa} \\
A = \{1,2,3,4,5\} \\
B = \{3,4,5,6,7,8\} \\
C = \{4,6,9,10\} \\
(A \cap B) \cap C = \{3,4\} \cap C = \{4\} \\
(B \cap C) \cap A = \{4,6\} \cap A = \{4\} \\
\end{array}
\]
L'Unione fra un insieme \(A\) ed un insieme \(B\) è l'insieme delle \(x\) appartenenti ad \(A\) oppure appartenenti a \(B\).
$$
\begin{array}{c}
A \cup B = x \in A \text{ o } x \in B
\end{array}
$$
Definizione ― Assioma dell'Unione
Per ogni collezione \(C\) di insiemi \((A,B)\) esiste un insieme \(U_C\) che contiene tutti gli elementi che appartengono ad almeno un insieme della collezione.
$$
\begin{array}{c}
A \cup B = {x \in U_{AB} : x \in A \text{ o } x \in B}
\end{array}
$$
Proprietà Algebriche
\[
\begin{array}{c}
A \cup \emptyset = A \\
\\
\text{Proprietà della Simmetria} \\
A \cup B = B \cup A \\
\\
\text{Proprietà Associativa} \\
A \cup (B \cup C) = (A \cup B) \cup C \\
\\
\text{Proprietà dell'Impotenza} \\
A \cup B = (A \cup A) \cup B = A \cup (A \cup B) = A \subseteq (A \cup B)
\end{array}
\]
Esempio
\[
\begin{array}{c}
\text{Dimostrazione dell'Operatore Unione} \\
\text{se } a \in \{x \in A:P(x) \text{ o } Q(x)\} \\
\text{allora vale } P(a) \text{ o } Q(a) \\
\text{quindi se vale } P(a) \\
\text{allora } a \in \{x \in A:P(x)\} \\
\text{e dunque } a \in \{x \in A:P(x)\} \cup \{x \in A:Q(x)\} \\
\\
\text{Dimostrazione della Proprietà Associativa} \\
A = \{1,2,3\} \\
B = \{4,5,6\} \\
C = \{7,8,9\} \\
(A \cup B) \cup C = \{1,2,3,4,5\} \cup C = \{1,2,3,4,5,6,7,8,9\} \\
(B \cup C) \cup A = \{4,5,6,7,8,9\} \cup A = \{4,5,6,7,8,9,1,2,3\} \\
\\
\text{Definizione di Sottoinsieme attraverso l'Unione} \\
A \cup B = B \text{ se e solo se } A \subseteq B \\
\end{array}
\]
La Differenza fra un insieme \(A\) ed un insieme \(B\) è l'insieme delle \(x\) appartenenti ad \(A\) che non appartengono a \(B\).
$$
\begin{array}{c}
A - B = x \in A : x \not\in B
\end{array}
$$
Proprietà Algebriche
\[
\begin{array}{c}
A \cap B = A - (A - B)
\end{array}
\]
Esempio
\[
\begin{array}{c}
A \cap B = A - (A - B) \\
A = \{1,2,3,4\} \\
B = \{3,4,5,6\} \\
A - B = \{1,2\} \\
A - (A-B) = \{1,2,3,4\} - \{1,2\} = \{3,4\} \\
A \cup B = \{3,4\}
\end{array}
\]
Dati due insiemi \(A\) e \(B\), si dice Prodotto Cartesiano l'insieme di tutte le coppie ordinate \(A\) e \(B\) tali che \(a\) è un elemento di \(A\) e \(b\) è un elemento di \(B\).
\[
\begin{array}{c}
A \times B = \forall \, (a,b), \, a \in A : b \in B
\end{array}
\]
Proprietà Algebriche
\[
\begin{array}{c}
A \times \emptyset = \emptyset \times A = \emptyset \\
A \times (B \cup C) = (A \times B)\cup(A \times C) \\
A \times (B \cap C)=(A \times B)\cap(A \times C)
\end{array}
\]
Esempio
\[
\begin{array}{c}
A = \{\emptyset\} \\
A \times A = \{(\emptyset,\emptyset),\{\}\}
\end{array}
\]
