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Modulo 12

Conseguenza Semantica

Definizione ― Conseguenza Semantica

Per ogni modello \(m\), se \(m\) soddisfa \(A_1,A_2,\dots,A_n\), allora \(m\) soddisfa \(B\).

\[ \begin{array}{c} A_1,A_2,\dots,A_n \models B \end{array} \]

Si dice anche che "\(B\) consegue semanticamente da \(A_1,A_2,\dots,A_n\)".

Note aggiuntive
  • Quando \(n = 0\), quindi quando non ci sono premesse alla conseguenza semantica, allora per ogni \(m\), \(m\) soddisfa \(B\).
\[ \begin{array}{c} \models B \\ \\ B \text{ è una Proposizione Valida o Tautologia} \end{array} \]
Esempio
  • Considerato l'insieme \(\mathbb{N}\) a questo corrisponderà una qualche Algebra di Boole.

image

  • Ora prendiamo come esempio l'elemento \(9\):

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  • Possiamo affermare che:
\[ \begin{array}{c} 9 \in Q \\ 9 \not\in P \\ \\ m(Q) = T \\ m(P) = F \end{array} \]
  • Una volta individuati \(P\) e \(Q\), possiamo individuare l'interpretazione delle restanti proposizioni (\(P \mathop{\vee} Q\) e \(P \mathop{\wedge} Q\)) attraverso le Tabelle di Verità.
mod12_tav_verita_join mod12_tav_verita_meet
\[ \begin{array}{c} P \mathop{\vee} Q \rightarrow T \\ P \mathop{\wedge} Q \rightarrow F \end{array} \]
  • Il fatto che \(m(Q)\) sia True, in logica si dice che \(Q\) è vero in \(m\) oppure \(m\) soddisfa \(Q\), usando la seguente notazione:
\[ \begin{array}{c} \models_m Q \end{array} \]
  • Quindi: il modello \(m\) assegna True come valore di verità al predicato \(P\).

Implicazione

Definizione ― Implicazione

L'Implicazione è un legame tra proposizioni che mette in relazione i valori di verità di due proposizioni matematiche, dette antecedente e conseguente.

Se \(P\) e \(Q\) sono due enunciati, compondendoli col connettivo logico di implicazione materiale si ottiene l'enunciato composto:

\[ \begin{array}{c} P \rightarrow Q \end{array} \]

Intersezione

Tavola di Verità dell'Implicazione
Esempio
  • Dati due enunciati \(P\) = piove e \(Q\) = la strada è bagnata, unendole con il connettivo logico di implicazione materiale si ottiene la proposizione composta:
\[ \begin{array}{c} P \rightarrow B: \text{ se piove allora la strada è bagnata} \end{array} \]
  • Se si verifica la causa \(P\) (piove) allora segue l'effetto \(Q\) (la strada è bagnata).
  • Se \(P\) e \(Q\) sono proposizioni vere, allora è vero anche l'enunciato \(P \rightarrow Q\), e ciò giustifica la prima riga della Tavola di Verità.
  • Se la prima proposizione \(P\) è vera e la seconda \(Q\) è falsa, l'implicazione è falsa, perchè quando si verifica la causa (piove) deve necessariamente verificarsi l'effetto (la strada è bagnata).
  • Infine, nel caso in cui la causa \(P\) sia falsa, nulla si può dire sull'effetto \(Q\): infati la strada potrebbe essere bagnata per altri motivi (notte di umidità).
Esempio ― Perchè \(A \implies B = \neg A \mathop{\vee} B\)
  • Costruiamo la tabella di verità per entrambe le espressioni \(A \implies B\) e \(\neg A \mathop{\vee} B\), e mostriamo che i valori di verità coincidono per ogni possibile combinazione di \(A\) e \(B\).
    implicazione