Modulo 1

Insiemi¶

Definizione ― Insiemi

Un Insieme è una qualsiasi collezione non ordinata di elementi su cui è possibile determinare una condizione di appartenenza.

Proposta di Von Neumann¶

\[ \begin{array}{c} 0 = \emptyset \\ 1 = \{\emptyset\} \\ 2 = \{\{\emptyset\},\emptyset\} \\ 3 = \{\{\emptyset\}, \emptyset, \{\{\emptyset\},\emptyset\}\} \end{array} \]

Assioma di Estensione¶

Definizione ― Assioma di Estensione

Due insiemi sono uguali se e solo se hanno gli stessi elementi.

\[ \begin{array}{c} A \subseteq B \mathop{\wedge} B \subseteq A \rightarrow A = B \end{array} \]

Esempio

\[ \begin{array}{c} A = \{1,2,3\} \\ B = \{3,2,1\} \\ B = A \end{array} \]

Relazione di Appartenenza¶

Definizione ― Relazione di Appartenenza

\[ \begin{array}{c} a \in A \iff a \text{ è un elemento di } A \end{array} \]

Esempio

\[ \begin{array}{c} A = \{1,2,3\} \\ a = 1 \\ a \in A \end{array} \]

Negazione di Appartenenza¶

Definizione ― Negazione di Appartenenza

\[ \begin{array}{c} a \not\in A \iff a \text{ non è un elemento di } A \end{array} \]

Esempio

\[ \begin{array}{c} A = \{1,2,3\} \\ a = 4 \\ a \not\in A \end{array} \]

Relazione di Sottoinsieme¶

Definizione ― Relazione di Sottoinsieme

\[ \begin{array}{c} B \subseteq A \iff \forall \, b \in B : b \in A \end{array} \]

Esempio

\[ \begin{array}{c} A = \{1,2,3,\{4,5\}\} \\ B = \{4,5\} \\ B \subseteq A \end{array} \]

Note aggiuntive

L'insieme vuoto è un sottoinsieme di qualsiasi insieme. $$ \begin{array}{c} \emptyset \subseteq A \end{array} $$
Ogni insieme è sottoinsieme di se stesso. $$ \begin{array}{c} A \subseteq A \end{array} $$

Negazione di Sottoinsieme¶

Definizione ― Negazione di Sottoinsieme

\[ \begin{array}{c} B \not\subseteq A \iff \exists \, b \in B : b \not\in A \end{array} \]

Esempio

\[ \begin{array}{c} A = \{1,2,3,\{4,5\}\} \\ B = \{4,5,6\} \\ B \not\subseteq A \end{array} \]

Predicato¶

Definizione ― Predicato

Un Predicato è una proprietà applicata su un elemento di un insieme. $$ \begin{array}{c} {x \in A : \mathcal{P}(x)} \end{array} $$

Assioma di Specificazione¶

Definizione ― Assioma di Specificazione

Ad ogni insieme $A$ e ad ogni frase $\mathcal{P}(x)$ che predica sugli elementi $x$ di $A$ corrisponde un insieme $\{x \in A : \mathcal{P}(x)\}$ i cui elementi sono esattamente quelli di $A$ che soddisfano $\mathcal{P}$.

Esempio

\[ \begin{array}{c} A = \{1,2,3,4,5,6\} \\ \mathcal{P}(x) = x \text{ è un numero paro} \\ \{x \in A : \mathcal{P}(x)\} = \{2,4,6\} \end{array} \]