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Esercizi

Capitolo 1 ― Insiemi

Domande
  1. Dato \(M = \{1,2,3\}\), determinate se le seguenti proposizioni sono corrette e perchè:
    1. \(1 \in M\)
    2. \(1 \subseteq M\)
    3. \(\{1\} \in M\)
    4. \(\{1\} \subseteq M\)
  2. Quali dei seguenti insiemi sono uguali?
    1. \(\{x : x\) è una lettera della parola "reattore"\(\};\)
    2. l'insieme delle lettere che compaiono nella parola "teatro";
    3. \(\{x : x\) è una lettera della parola "attore"\(\};\)
    4. l'insieme formato dalle lettere \(a, e, o, r, t\).
  3. Quali dei seguenti insiemi sono differenti: \(\emptyset, \{0\}, \{\emptyset\}\)?
  4. Sia \(A = \{2, \{4,5\}, 4\}\). Quali delle seguenti proposizioni sono sbagliate e perchè?
    1. \(\{4,5\} \subseteq A\)
    2. \(\{4,5\} \in A\)
    3. \(\{\{4,5\}\} \subseteq A\)
    4. \(5 \in A\)
    5. \(\{5\} \in A\)
    6. \(\{5\} \subseteq A\)
  5. Sia \(B = \{1,0\}\). Dire se ciascuna delle seguenti proposizioni è giusta o sbagliata:
    1. \(\{0\} \in B\)
    2. \(\emptyset \in B\)
    3. \(\{0\} \subseteq B\)
    4. \(0 \in B\)
    5. \(0 \subseteq B\)
  6. Siano \(A = \{1,2,3,4\}, B = \{2,4,6,8\}\), e \(C = \{3,4,5,6\}\). Trovare:
    1. \(A \cup B\)
    2. \(B \cup B\)
    3. \((A \cup B) \cup C\)
    4. \(A \cap B\)
    5. \(B \cap B\)
    6. \((A \cap B) \cap C\)
    7. \(A - B\)
    8. \(B - B\)
    9. \((A - B) - C\)
  7. Sia \(U = \{a, b, c, d, e\}\) un insieme universo e siano \(A = \{a, b, d\}\) e \(B = \{b, d, e\}\) due insieme definiti in tale universo. Trovare:
    1. \(\overline{B}\)
    2. \(\overline{A} \cap B\)
    3. \(A \cup \overline{B}\)
    4. \(\overline{A} \cap \overline{B}\)
    5. \(\overline{B} - \overline{A}\)
    6. \(\overline{(A \cap B)}\)
  8. Dimostrare la proprietà dell'unione insiemistica, cioè che, comunque si prendano due insiemi \(A\) e \(B\), si ha che \(A \cup B = B \cup A\).
  9. Dimostrare che \(\emptyset\) è l'elemento neutro per l'unione, cioè che, comunque si prenda un insieme \(A\), si ha che \(A \cup \emptyset = A\).
  10. Dimostrare che la differenza insiemistica non gode della proprietà commutativa.
  11. Siano \(A = \{1, (2,3)\}\) e \(B = \{2,4\}\). Si calcoli il prodotto cartesiano \(A \times B\).
  12. Si calcoli il prodotto cartesiano tra l'insieme \(A = \{1,2,3\}\) e l'insieme \(B = \{x : \frac{x}{0} = 3\}\).
  13. Si dimostri che il prodotto cartesiano non è commutativo.
  14. Siano \(A = \{1,2,3,4\}, B = \{2,4,6,8\}\), e \(C = \{3,4,5,6\}\). Trovare:
    1. \(A \cup C\)
    2. \(B \cup C\)
    3. \(C \cup C\)
    4. \(A \cup (B \cup C)\)
    5. \(A \cap C\)
    6. \(B \cap C\)
    7. \(C \cap C\)
    8. \(A \cap (B \cap C)\)
    9. \(A - C\)
    10. \(B - C\)
    11. \(C - C\)
    12. \(A - (B - C)\)
  15. Sia \(U = \{a,b,c,d,e,f,g\}\) un insieme universo e siano \(A = \{a,b,c,d,e\}, B = \{a,c,e,g\}\) e \(C = \{b,e,f,g\}\) tre insiemi definiti in tale universo. Trovare:
    1. \(\overline{B}\)
    2. \(\overline{A} - B\)
    3. \(\overline{B} \cup C\)
    4. \(\overline{(A - C)}\)
    5. \(\overline{C} \cap A\)
    6. \(\overline{(A - \overline{B})}\)
    7. \(\overline{(A \cap \overline{A})}\)
  16. Dimostrare per doppia inclusione la proprietà commutativa dell'intersezione insiemistica.
  17. Dimostrare che \(\emptyset\) è l'elemento azzeratore dell'intersezione, cioè che, comunque si prende un insieme \(A\), si ha che \(A \cap \emptyset = \emptyset\).
  18. Dati gli insiemi \(A = \{x \in \mathbb{Z} : -1 \leq x \leq 2\}\) e \(B = \{x \in \mathbb{Z} : 3 < x < 6\}\), si calcolino:
    1. \(A \times B\)
    2. \(B \times A\)
    3. \(A \times A\)
    4. \(B \times B\)
  19. Si dimostri che \(A \times (B \cup C) = (A \times B) \cup (A \times C)\).
  20. Si dimostri che \(A \times (B - C) = (A \times B) - (A \times C)\).
Soluzioni

  1. (a) è VERA perchè l'elemento \(1\) appartiene all'insieme \(M\).

    • (b) è FALSA perchè l'elemento \(1\) non è un sottoinsieme dell'insieme \(M\).
    • (c) è FALSA perchè il sottoinsieme \(\{1\}\) non appartiene all'insieme \(M\).
    • (d) è VERA perchè tutti gli elementi del sottoinsieme \(\{1\}\) appartengono all'insieme \(M\).

  2. Tutti e 4 gli insiemi sono uguali, in quanto sono formati dalle lettere \(\{r,e,a,t,o\}\).

  3. Sono tutti diversi: l'insieme \(\{0\}\) è differente da \(\{\emptyset\}\) e sicuramente differente da \(\emptyset\), visto che quest'ultimo è un elemento.

  4. (a) è FALSA perchè gli elementi del sottoinsieme \(\{4,5\}\) non fanno parte dell'insieme \(M.\)

    • (b) è VERA perchè il sottoinsieme \(\{4,5\}\) appartiene all'insieme \(M\).
    • (c) è VERA perchè tutti gli elementi dell'insieme \(\{\{4,5\}\}\), ovvero \(\{4,5\}\), fanno parte dell'insieme \(M\).
    • (d) è FALSA perchè l'elemento \(5\) non appartiene all'insieme \(M\).
    • (e) è FALSA perchè l'insieme \(\{5\}\) non appartiene all'insieme \(M\).
    • (f) è FALSA perchè gli elementi dell'insieme \(\{5\}\) non appartengono all'insieme \(M\).

  5. (a) è FALSA perchè l'insieme \(\{0\}\) non appartiene all'insieme \(B\).

    • (b) è FALSA perchè l'insieme vuoto \(\emptyset\) non appartiene all'insieme \(B\).
    • (c) è VERA perchè tutti gli elementi dell'insieme \(\{0\}\) appartengono all'insieme \(B\).
    • (d) è VERA perchè l'elemento \(0\) appartiene all'insieme \(B\).
    • (e) è FALSA perchè l'elemento \(0\) non è un sottoinsieme dell'insieme \(B\).

  6. (a) \(A \cup B = \{1,2,3,4,6,8\}\)

    • (b) \(B \cup B = \{2,4,6,8\}\)
    • (c) \((A \cup B) \cup C = \{1,2,3,4,6,8,5\}\)
    • (d) \(A \cap B = \{2,4\}\)
    • (e) \(B \cap B = \{2,4,6,8\}\)
    • (f) \((A \cap B) \cap C = \{4\}\)
    • (g) \(A - B = \{1,3\}\)
    • (h) \(B - B = \emptyset\)
    • (i) \((A - B) - C = \{1\}\)

  7. (a) \(\overline{B} = \{a,c\}\)

    • (b) \(\overline{A} \cap B = \{e\}\)
    • (c) \(A \cup \overline{B} = \{a,b,c,d\}\)
    • (d) \(\overline{A} \cap \overline{B} = \{c\}\)
    • (e) \(\overline{B} - \overline{A} = \{a\}\)
    • (f) \(\overline{(A \cap B)} = \{a,c,e\}\)

  8. Per definizione, l'unione si costituisce da tutti gli elementi appartenenti ad un insieme \(A\) oppure un insieme \(B\). Perciò, invertendo gli insiemi (prima \(B\) poi \(A\)) il risultato dell'unione non cambia.

  9. Per definizione, un qualsiasi insieme unito all'insieme vuoto, restituirà sempre quel qualsiasi insieme, visto che l'insieme vuoto non contiene elementi.
  10. Per definizione, la differenza è costituita da tutti gli elementi del primo insieme \(A\) che non appartengono al secondo insieme \(B\). Naturalmente, invertendo l'ordine otteniamo un risultato diverso, ovvero gli elementi dell'insieme \(B\) che non appartengono all'insieme \(A\).
  11. \(A \times B = \{(1,2), (1,4), ((2,3),2), ((2,3),4)\}\)
  12. \(A \times B = \emptyset\)
  13. Per definizione, il prodotto cartesiano tra due insiemi \(A\) e \(B\) è formato da tutte le coppie \((a,b)\) tale per cui \(a \in A\) e \(b \in B\). Invertendo l'ordine degli insiemi, si ottiene l'inverso, quindi tutte le coppie \((a,b)\) tale per cui \(a \in B\) e \(b \in A\).

  14. (a) \(A \cup C = \{1,2,3,4,5,6\}\)

    • (b) \(B \cup C = \{2,4,6,8,3,5\}\)
    • (c) \(C \cup C = \{3,4,5,6\}\)
    • (d) \(A \cup (B \cup C) = \{2,4,6,8,3,5,1\}\)
    • (e) \(A \cap C = \{3,4\}\)
    • (f) \(B \cap C = \{4,6\}\)
    • (g) \(C \cap C = \{3,4,5,6\}\)
    • (h) \(A \cap (B \cap C) = \{4\}\)
    • (i) \(A - C = \{1,2\}\)
    • (l) \(B - C = \{2,8\}\)
    • (m) \(C - C = \emptyset\)
    • (n) \(A - (B - C) = \{1,3,4\}\)

  15. (a) \(\overline{B} = \{b,d,f\}\)

    • (b) \(\overline{A} - B = \{f\}\)
    • (c) \(\overline{B} \cup C = \{b,d,f,e,g\}\)
    • (d) \(\overline{(A - C)} = \{b,e,f,g\}\)
    • (e) \(\overline{C} \cap A = \{a,c,d\}\)
    • (f) \(\overline{(A - \overline{B})} = \{b,d,f,g\}\)
    • (g) \(\overline{(A \cap \overline{A})} = \{a,b,c,d,e,f,g\}\)

  16. Per definizione, l'intersezione si costituisce da tutti gli elementi in comune tra due insiemi \(A\) e \(B\): invertendo quindi l'ordine, si ottiene comunque lo stesso risultato in quanto gli elementi in comune sono gli stessi.

  17. L'intersezione è costituita da tutti gli elementi in comune tra i due insiemi: se uno tra i due insiemi è vuoto, allora il risultato dell'intersezione sarà sempre vuota (\(\emptyset\)), visto che non ci sono elementi in comune tra i due insiemi.

  18. \(A = \{-1, 0, 1, 2\}, B = \{4, 5\}\)

    • (a) \(A \times B = \{(-1,4), (-1,5), (0,4), (0,5), (1,4), (1,5), (2,4), (2,5)\}\)
    • (b) \(B \times A = \{(4,-1), (4,0), (4,1), (4,2), (5,-1), (5,0), (5,1), (5,2)\}\)
    • (c) \(A \times A = \{(-1,-1), (-1,0), (-1,1), (-1,2), (0,-1), (0,0), (0,1),\) \((0,2), (1,-1), (1,0), (1,1), (1,2), (2,-1), (2,0), (2,1), (2,2)\}\)
    • (d) \(B \times B = \{(4,4),(4,5),(5,4),(5,5)\}\)

  19. Consideriamo \(A = \{a,b\}, B = \{c,d\}, C = \{e,f\}\):

    \[ \begin{array}{c} A \times (B \cup C) = \, ? \\ A \times (\{c,d,e,f\}) \\ \{a,b\} \times \{c,d,e,f\} = \{(a,c), (a,d), (a,e), (a,f), (b,c), (b,d), (b,e), (b,f)\} \\ \\ (A \times B) \cup (A \times C) = \, ? \\ \{(a,c),(a,d),(b,c),(b,d)\} \cup \{(a,e),(a,f),(b,e),(b,f)\} \\ = \{(a,c), (a,d), (a,e), (a,f), (b,c), (b,d), (b,e), (b,f)\} \\ \\ A \times (B \cup C) = (A \times B) \cup (A \times C) \end{array} \]

  20. Consideriamo \(A = \{a,b\}, B = \{c,d\}, C = \{e,f\}\):

    \[ \begin{array}{c} A \times (B - C) = \, ? \\ A \times \{c,d\} \\ \{a,b\} \times \{c,d\} = \{(a,c), (a,d), (b,c), (b,d)\} \\ \\ (A \times B) - (A \times C) = \, ? \\ \{(a,c),(a,d),(b,c),(b,d)\} - \{(a,e),(a,f),(b,e),(b,f)\} \\ = \{(a,c),(a,d),(b,c),(b,d)\} \\ \\ A \times (B - C) = (A \times B) - (A \times C) \end{array} \]

Capitolo 2 ― Operatori su Insiemi

Domande
  1. Sia \(\mathcal{R}\) la relazione tra \(E = \{2,3,4,5\}\) e \(F = \{3,6,7,10\}\) definita dalla proposizione "\(x\) divide \(y\)". Scrivere \(\mathcal{R}\) come insieme di coppie ordinate.
  2. Ciascuna delle seguenti proposizioni definisce una relazione su \(\mathbb{N}\). Dire per ciascuna relazione se essa è riflessiva:
    1. "\(x\) è minore o uguale a \(y\)"
    2. "\(x\) divide \(y\)"
    3. "\(x + y = 10\)"
    4. "\(x\) e \(y\) sono primi tra loro"
  3. Ciascuna delle seguenti proposizioni definisce una relazione su \(\mathbb{N}\). Dire per ciascuna relazione se essa è antiriflessiva:
    1. "\(x\) è minore o uguale a \(y\)"
    2. "\(x\) divide \(y\)"
    3. "\(x + y = 10\)"
    4. "\(x\) e \(y\) sono primi tra loro"
  4. Una Relazione definita su un insieme \(A\) può essere sia Riflessiva che Antiriflessiva?
  5. Ciascuna delle seguenti proposizioni definisce una relazione su \(\mathbb{N}\). Dire per ciascuna relazione se essa è simmetrica:
    1. "\(x\) è minore o uguale a \(y\)"
    2. "\(x\) divide \(y\)"
    3. "\(x + y = 10\)"
    4. "\(x\) e \(y\) sono primi tra loro"
  6. Esiste un insieme \(A\) tale che qualsiasi Relazione su \(A\) è simmetrica?
  7. Ciascuna delle seguenti proposizioni definisce una relazione su \(\mathbb{N}\). Dire per ciascuna relazione se essa è antisimmetrica:
    1. "\(x\) è minore o uguale a \(y\)"
    2. "\(x\) divide \(y\)"
    3. "\(x + y = 10\)"
    4. "\(x\) e \(y\) sono primi tra loro"
  8. Una Relazione \(\mathcal{R}\) definita su un insieme \(A\) può essere sia simmetrica che antisimmetrica?
  9. Ciascuna delle seguenti proposizioni definisce una relazione su \(\mathbb{N}\). Dire per ciascuna relazione se essa è transitiva:
    1. "\(x\) è minore o uguale a \(y\)"
    2. "\(x\) divide \(y\)"
    3. "\(x + y = 10\)"
    4. "\(x\) e \(y\) sono primi tra loro"
  10. Sia \(C = \{1,2,3\}\) e si considerino le seguenti relazioni su \(C\), poi per ognuna di esse, dire se è riflessiva, antiriflessiva, simmetrica, antisimmetrica e transitiva, giustificando la risposta.
    1. \(\{(1,2),(3,2),(2,2),(2,3)\}\)
    2. \(\{(1,2)\}\)
    3. \(\{(1,2),(2,3),(1,3)\}\)
    4. \(\{(1,1),(2,2),(2,3),(3,2),(3,3)\}\)
    5. \(C \times C\)
  11. Una Relazione definita su un insieme \(A\) può essere sia non riflessiva che non antiriflessiva?
Soluzioni
  1. \(\{(2,6),(2,10),(3,3),(3,6),(5,10)\}\)

  2. (a) è RIFLESSIVA perchè ogni numero naturale è uguale a sé stesso.

    • (b) è RIFLESSIVA perchè ogni numero naturale è divisibile per sé stesso.
    • (c) NON è Riflessiva perchè non tutti i numeri naturali sommati tra loro hanno come risultato \(10\).
    • (d) NON è Riflessiva perchè non tutti i numeri naturali sono primi.

  3. (a) NON è Antiriflessiva perchè tutti i numeri naturali sono uguali a sé stessi.

    • (b) NON è Antiriflessiva, perchè tutti i numeri naturali sono divisibili per sé stessi.
    • (c) NON è Antiriflessiva, perchè esiste un solo caso per cui la Relazione è rispettata (\(x = 5 = y\)).
    • (d) NON è Antiriflessiva, perchè alcuni numeri naturali sono primi, altri no.

  4. Esiste solo una Relazione sia Riflessiva che Antiriflessiva: quella sull'insieme vuoto \((A = \emptyset)\).

  5. (a) NON è Simmetrica perchè non è detto che se \(x\) è minore o uguale a \(y\), allora \(y\) è minore o uguale a \(x\).

    • (b) NON è Simmetrica perchè se \(x\) divide \(y\), non è detto che \(y\) divida \(x\).
    • (c) è SIMMETRICA perchè se \(x + y = 10\), allora sicuramente \(y + x = 10\).
    • (d) è SIMMETRICA perchè se \(x\) e \(y\) sono primi tra loro, allora anche \(y\) e \(x\) lo sono.

  6. Sì, quando \(A = \emptyset\) oppure \(A = \{a\}\) (per un generico elemento \(a\)).

  7. (a) è ANTISIMMETRICA perchè se \(x \leq y\) e \(y \leq x\), allora sicuramente \(x = y\).

    • (b) è ANTISIMMETRICA perchè l'unico caso per cui \(x\) divide \(y\) e \(y\) divide \(x\), è quando \(x = y\).
    • (c) è ANTISIMMETRICA perchè possono esserci coppie \(x + y = 10\) tale per cui \(x \neq y\).
    • (d) non è ANTISIMMETRICA perchè possono esserci \(x\) e \(y\) primi tra loro ed \(y\) e \(x\) primi tra loro tale per cui \(x \neq y\).

  8. Sì, per esempio la Relazione \(\mathcal{R} = \{(1,1),(2,2),(3,3)\}\) definita sull'insieme \(A = \{1,2,3\}\).

  9. (a) è TRANSITIVA perchè se \(x \leq y\) e \(y \leq z\), allora sicuramente \(x \leq z\).

    • (b) è TRANSITIVA, perchè se \(x\) divide \(y\) ed \(y\) divide \(z\), allora anche \(x\) divide \(z\).
    • (c) NON è Transitiva, perchè non è detto che se \(x + y = 10\) e \(y + z = 10\) allora \(x + z = 10\).
    • (d) NON è Transitiva perchè \(3\) e \(5\) sono primi tra loro, \(5\) e \(6\) sono primi tra loro: ma \(3\) e \(6\) non sono primi tra loro.

  10. Considerato \(C = \{1,2,3\}\):

    • (a) non gode di NESSUNA PROPRIETÀ.
      • Non è riflessiva, poiché manca ad esempio la coppia \((1,1)\); non è antiriflessiva, per via della coppia \((2,2)\); non è simmetrica, poiché manca ad esempio la coppia \((2,1)\); non è antisimmetrica, per via delle coppie \((2,3)\) e \((3,2)\); non è transitiva, per via delle coppie \((1,2)\) e \((2,3)\).
    • (b) è ANTISIMMETRICA, TRANSITIVA e ANTIRIFLESSIVA.
      • Non è riflessiva, poiché manca ad esempio la coppia \((1,1)\); è antiriflessiva; non è simmetrica, poiché manca la coppia \((2,1)\); è antisimmetrica; è transitiva.
      • (c) è TRANSITIVA, ANTISIMMETRICA e ANTIRIFLESSIVA.
      • Non è riflessiva, poiché manca ad esempio la coppia \((1,1)\); è antiriflessiva; non è simmetrica, poiché manca ad esempio la coppia \((2,1)\); è antisimmetrica; + transitiva.
    • (d) è RIFLESSIVA, SIMMETRICA e TRANSITIVA.
      • È riflessiva; non è antiriflessiva, per via ad esempio della coppia \((2,2)\); è simmetrica; non è antisimmetrica, per via delle coppie \((2,3)\) e \((3,2)\); è transitiva.
    • (e) è RIFLESSIVA, SIMMETRICA e TRANSITIVA.
      • È riflessiva; non è antiriflessiva, per via ad esempio della coppia \((2,2)\); è simmetrica; non è antisimmetrica, per via ad esempio delle coppie \((2,3)\) e \((3,2)\); è transitiva.

  11. Sì, può esistere una Relazione né riflessiva né antiriflessiva. Esempio: \(A = \{(1,1),(2,1),(3,1)\}\).

Capitolo 3 ― Relazioni

Domande
  1. Si consideri l'insieme \(I = \{\text{Milano,Napoli,Palermo,Varese,Caserta}\}\). Definire una o più relazioni di equivalenza su \(I\) e, per ciascuna relazione \(\mathcal{R}\), determinare l'insieme quoziente \(I / \mathcal{R}\).
Soluzioni

  1. \(R = \{x\) è nella stessa regione di \(y\}\)

    • \(I \ \mathcal{R} = \{\{\text{Milano, Varese}\}, \{\text{Palermo}\}, \{\text{Napoli, Caserta}\}\}\)

Capitolo 5 ― Funzioni

Domande
  1. Sia \(A = \{1,2,3\}\); si dica se le seguenti relazioni su \(A\) sono funzioni:
    1. \(\mathcal{R}_1 = \{(1,2),(3,1)\}\)
    2. \(\mathcal{R}_2 = \{(1,2),(2,3),(3,1),(3,3)\}\)
    3. \(\mathcal{R}_3 = \{(1,2),(2,3),(3,1)\}\)
  2. Sia \(f(x) = x^2\) una funzione definita sull'intervallo chiuso dei reali \([-2,8]\). Calcolare \(f(4), f(-3)\) e \(f(t - 3)\), per un'opportuna scelta del parametro \(t\).
  3. Sia \(g : \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}\) definita dalla formula \(g(x) = |x|+1\). Trovare l'insieme delle immagini di \(g\).
  4. Si consideri la funzione \(f(x) = x\), dove \(x \geq 0\). Indicare se ciascuna delle seguenti funzioni è un'estensione di \(f\):
    1. \(g_1 (x) = x\), dove \(x \geq 2\)
    2. \(g_2 (x) = |x|\), per tutti gli \(x \in \mathbb{R}\)
    3. \(id: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\)
    4. \(g_3 (x) = \frac{x+|x|}{2}\)
    5. \(g_4 (x) = x\), dove \(x \in [-1, 1]\)
  5. Siano \(A = [-3, 3], B = [0, 3]\) e \(C = [-3, 0]\); siano inoltre \(f_1: A \to \mathbb{R}, f_2 : B \to \mathbb{R}\) e \(f_3 : C \to \mathbb{R}\) definite dalla legge: "associa a ciascun numero il suo quadrato". Quale delle funzioni date è iniettiva?
  6. Siano \(A = [-3, 3], B = [0, 9]\) e \(C = [-27, 27]\); siano inoltre \(f_1: A \to \mathbb{R}, f_2 : A \to B\) e \(f_3 : A \to C\) definite dalla legge: "associa a ciascun numero il suo quadrato". Quale delle funzioni date è suriettiva? Come cambierebbero le risposte se le funzioni associassero ad ogni numero il loro cubo?
  7. Sia \(a \in \mathbb{R}\) e sia \(D = \{x \in \mathbb{R} : x^2 \leq 2a^2 - 8\}\). Per quali valori di \(a\) la funzione \(f : D \to \mathbb{R}\) definita da \(f(x) = 5\) è iniettiva? È suriettiva?
Soluzioni

  1. Considerato \(A = \{1,2,3\}\):

    • (a) NON è una Funzione perchè l'elemento \(2\) non ha nessuna immagine.
    • (b) NON è una Funzione perchè ci sono elementi del dominio che hanno più immagini (\((3,1),(3,3)\)).
    • (c) è una FUNZIONE perchè ogni elemento nel dominio ha almeno un corrispondente nel codominio.

  2. Considerata la funzione \(f(x) = x^2\):

    • \(f(4) = 16\)
    • \(f(-3) =\) non definito
    • \(f(t - 3) = (t- 3)2\), per un qualsiasi \(1 \leq t \leq 11\), visto che deve essere \(-2 \leq t - 3 \leq 8\).

  3. L'insieme delle immagini di \(g\) contiene tutti i numeri interi positivi che hanno un successore, quindi \(1, 2, 3, \dots\).

  4. Una funzione \(f^\prime\) estende \(f\) (o, analogamente, \(f\) è una restrizione di \(f^\prime\)) se \(dom(f) \subseteq dom(f^\prime)\) e per ogni \(x \in dom(f)\) si ha che \(f^\prime (x) = f(x)\). Pertanto, \(g_1, g_2, id\) e \(g_3\) estendono \(f\), mentre \(g_4\) non è un'estensione di \(f\), visto che \(dom(f) \not\subseteq dom(g_4)\).

  5. Le funzioni \(f_2\) ed \(f_3\) sono iniettive:

    • \(f_1\) non è iniettiva perchè \(f(-2)\) e \(f(2)\) hanno la stessa immagine.
    • \(f_2\) ed \(f_3\) invece ogni elemento distinto ha un'immagine distinta.

  6. Considerate le tre funzioni \(f_1, f_2\) ed \(f_3\):

    • \(f_1\) non è suriettiva perchè l'insieme \(A\) non riesce a coprire ogni quadrato dell'insieme \(\mathbb{R}\).
    • \(f_2\) è suriettiva perchè ogni elemento dell'immagine è mappato ad almeno un elemento del dominio.
    • \(f_3\) non è suriettiva perchè non tutti gli elementi dell'insieme \(C\) hanno una controimmagine in \(A\).

  7. Essendo \(f\) una costante, l'insieme immagine di \(f\) è \(\{5\}\) e quindi \(f\) non è suriettiva, qualunque sia \(a\). Affinchè \(f\) sia iniettiva, \(D\) deve contenere al più un elemento; questo si ha soltanto quando \(2a^2 – 8 \leq 0\), cioè per ogni \(a \in [–2, 2]\).