Capitolo 3 – Numeri Reali
Insiemi¶
Abbiamo a disposizioni diversi insiemi:
- \(\mathop{N}\) = insieme dei numeri naturali (\(0, 1, 2, 3, \dots\))
- \(\mathop{Z}\) = insieme dei numeri interi relativi (\(\dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots\))
- \(\mathop{Q}\) = insieme dei numeri razionali (\(\frac{a}{b} | a \in \mathop{Z}, b \in \mathop{Z}, b \neq 0\))
- I numeri decimali (\(3.68, 2.75131313\)) ricadono nell'insieme dei numeri razionali.
Possiamo dedurre che:
\[
\begin{array}{c}
\mathop{N} \subseteq \mathop{Z} \subseteq \mathop{Q}
\end{array}
\]
Definizione ― Insieme \(\mathop{R}\)
Esiste un insieme numerico, dotato di due operazioni di somma e prodotto, i cui elementi possono essere confrontati con la relazione d'ordine minore o uguale \(\leq\), per cui valgono alcune proprietà.
Proprietà dell'Insieme \(\mathop{R}\)¶
Proprietà Algebriche
\[
\begin{array}{c}
\text{Proprietà Commutativa} \\
a + b = b + a \\
a \cdot b = b \cdot a \\ \\
\text{Proprietà Associativa} \\
a + (b+c) = (a+b) + c \\
a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c \\ \\
\text{Proprietà Distributiva} \\
(a+b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c \\ \\
\text{Esistenza degli Elementi Neutri} \\
\forall a \in \mathop{R} \\ a + 0 = a \\
\forall a \in \mathop{R} \\ a \cdot 1 = a \\ \\
\text{Esistenza dell'Opposto} \\
\forall a \in \mathop{R} \\ a + a' = 0 \\ \\
\text{Esistenza dell'Inverso} \\
\forall a \in \mathop{R} \\ a \cdot \overline{a} = 1 \\ \\
\text{Totalità dell'Ordinamento} \\
\forall a,b \in \mathop{R} \\ a \leq b \lor b \leq a \\ \\
\text{Proprietà Antisimmetrica} \\
\forall a,b \in \mathop{R} \\ \text{se } a \leq b \text{ e } b \leq a, a = b \\ \\
\text{Proprietà Transitiva} \\
\forall a,b,c \in \mathop{R} \\ \text{se } a \leq b \text{ e } b \leq c, a \leq c \\ \\
\text{Proprietà delle Operazioni} \\
-(-a) = a \\
(-a)b = -(ab) \\
(-a)(-b) = ab \\ \\
\text{Proprietà dell'Ordinamento Naturale} \\
a < b \iff a \leq b \text{ e } a \neq b \\
a > b \iff a \geq b \text{ e } \neq b \\
a > b \iff b > a
\end{array}
\]
Intervalli di \(\mathop{R}\)¶
Definizione ― Intervalli di \(\mathop{R}\)
- Viene definito intervallo aperto e limitato di estremi \(a\) e \(b\):
\[
\begin{array}{c}
(a,b) = \{x \in \mathop{R} | \, a < x < b\}
\end{array}
\]
- Viene definito intervallo chiuso e limitato di estermi \(a\) e \(b\):
\[
\begin{array}{c}
[a,b] = \{x \in \mathop{R} | \, a \leq x \leq b\}
\end{array}
\]
- Viene definito intervallo limitato chiuso a sinistra ed aperto a destra di estremi \(a\) e \(b\):
\[
\begin{array}{c}
[a,b) = \{x \in \mathop{R} | \, a \leq x < b\}
\end{array}
\]
- Viene definito intervallo limitato aperto a sinistra e chiuso a destra di estremi \(a\) e \(b\):
\[
\begin{array}{c}
(a,b] = \{x \in \mathop{R} | \, a < x \leq b\}
\end{array}
\]
- Viene definito intervallo aperto illimitato superiormente:
\[
\begin{array}{c}
(c,+\infty) = \{x \in \mathop{R} | \, x > c\}
\end{array}
\]
- Viene definito intervallo chiuso illimitato superiormente:
\[
\begin{array}{c}
[c,+\infty) = \{x \in \mathop{R} | \, x \geq c\}
\end{array}
\]
- Viene definito intervallo aperto illimitato inferiormente:
\[
\begin{array}{c}
(-\infty,c) = \{x \in \mathop{R} | \, x < c\}
\end{array}
\]
- Viene definito intervallo chiuso illimitato inferiormente:
\[
\begin{array}{c}
(-\infty,c] = \{x \in \mathop{R} | \, x \leq c\}
\end{array}
\]
Valore Assoluto¶
Definizione ― Valore Assoluto
\[
\begin{array}{c}
|x| = \{x \text{ se } x \geq 0\} \\
|x| = \{-x \text{ se } x < 0 \}
\end{array}
\]
Esempi
\[
\begin{array}{c}
|\frac{1}{2}| = \frac{1}{2} \\
|0| = 0 \\
|-2| = -(-2) = 2
\end{array}
\]
Massimo e Minimo¶
Definizione ― Massimo
Sia \(A \subseteq R\), si chiama massimo di \(A\), se esiste, un elemento \(M \in A\) che è maggiore od uguale ad ogni altro elemento di \(A\).
\[
\begin{array}{c}
M \text{ è massimo di } A \iff M \in A \land M \geq a, \forall a \in A
\end{array}
\]
Definizione ― Minimo
Sia \(A \subseteq R\), si chiama minimo di \(A\), se esiste, un elemento \(m \in A\) che è minore od uguale ad ogni altro elemento di \(A\).
\[
\begin{array}{c}
m \text{ è minimo di } A \iff m \in A \land m \leq a, \forall a \in A
\end{array}
\]
Note aggiuntive
- Se un insieme di numeri reali ammette un massimo/minimo allora esso è unico.
Esempi
- L'insieme \(\mathop{R}\) non ammette massimo. Infatti, comunque si fissi \(a \in \mathop{R}\), abbiamo che \(a + 1 > a\). Similmente si vede che \(\mathop{R}\) non ha minimo.
- L'insieme dei numeri naturali \(\mathop{N}\) non ha un massimo, mentre è facile convincersi che \(min \mathop{N} = 0\).
Maggiorante & Minorante¶
Definizione ― Maggiorante
Sia \(A \subseteq \mathop{R}\), si dice che \(x \in \mathop{R}\) è un maggiorante di \(A\) se \(x \geq a, \forall \, a \in A\).
Definizione ― Minorante
Sia \(A \subseteq \mathop{R}\), si dice che \(y \in \mathop{R}\) è un minorante di \(A\) se \(y \leq a, \forall \, a \in A\).
Esempi
- L'insieme \(A = \{1,2,3\}\) ammette maggioranti, ovvero tutti quei numeri \(\in \mathop{R} \geq a, \forall a \in A\).
- L'insieme \(A\) ammette anche minoranti, perchè esistono numeri \(\in \mathop{R} \leq a, \forall a \in A\).
Insiemi Limitati¶
Definizione ― Insieme Limitato Superiormente
L'insieme \(A \subseteq \mathop{R}\) è limitato superiormente se esiste un maggiorante per \(A\).
Definizione ― Insieme Limitato Inferiormente
L'insieme \(A \subseteq \mathop{R}\) è limitato inferiormente se esiste un minorante per \(A\).
Note aggiuntive
- Quando un insieme non è limitato, viene detto illimitato (superiormente o inferiormente).
Esempi
- Gli insiemi \(\mathop{Z}, \mathop{Q}\) ed \(\mathop{R}\) non sono limitati né superiormente né inferiormente.
- L'insieme \(\mathop{N}\) è limitato inferiormente (\(0\) è un minorante) ma non superiormente.
- L'insieme \(A = \{1,2,3\}\) è limitato superiormente perchè esistono maggioranti come \(4, 8, 100, \dots\) che sono maggiori o uguali a tutti gli elementi di \(A\).
- L'insieme \(A\) è anche limitato inferiormente perchè esistono minoranti come \(0, -1, -100, \dots\) che sono numeri minori o uguali a tutti gli elementi di \(A\).
Estremo Superiore & Inferiore¶
Definizione ― Estremo Superiore
Sia \(A \subseteq \mathop{R}\), si chiama estremo superiore di \(A\), se esiste, il più piccolo dei maggioranti di \(A\).
\[
\begin{array}{c}
sup A
\end{array}
\]
Definizione ― Estremo Inferiore
Sia \(A \subseteq \mathop{R}\), si chiama estremo inferiore di \(A\), se esiste, il più grande dei minoranti di \(A\).
\[
\begin{array}{c}
inf A
\end{array}
\]
Teoremi
- Teorema di Esistenza dell'Estremo Superiore: sia \(A \subseteq \mathop{R}\) non vuoto e superiormente limitato. Allora \(A\) ammette estremo superiore.
- Teorema di Esistenza dell'Estremo Inferiore: sia \(A \subseteq \mathop{R}\) non vuoto ed inferiormente limitato. Allora \(A\) ammette estremo inferiore.
- Teorema di Caratterizzazione dell'Estremo Superiore: sia \(A \subseteq \mathop{R}\), non vuoto. Sia \(\mathop{M} \in \mathop{R}\). Allora \(\mathop{M}\) è l'estremo superiore di \(A\) se e solo se sono vere le seguenti due condizioni:
- \(M\) è un maggiorante di \(A\);
- per ogni \(x > 0\) esiste \(a \in A\) tale che \(M - x < a\).
- Teorema di Caratterizzazione dell'Estremo Inferiore: sia \(A \subseteq \mathop{R}\), non vuoto. Sia \(m \in \mathop{R}\). Allora \(m\) è l'estremo inferiore di \(A\) se e solo se sono vere le seguenti due condizioni:
- \(m\) è un minorante di \(A\);
- per ogni \(x > 0\) esiste \(a \in A\) tale che \(m + x > a\).
Esempi
- È facile convincersi che \(sup \mathop{R} = +\infty\) e che \(inf \mathop{R} = -\infty\).
- L'estremo superiore di intervalli di tipo \([a, +\infty)\) o \((a, +\infty)\) è \(+\infty\).
- L'estremo inferiore di intervalli di tipo \((-\infty, a]\) o \((-\infty, a)\) è \(-\infty\).
- L'insieme \(A = \{1,2,3\}\) ha come estremo superiore \(3\), che è il più piccolo tra tutti i maggioranti (gli altri maggioranti sono \(4,5,6,7,\dots\)). L'estremo inferiore invece è \(1\), ovvero il più grande tra tutti i minoranti (gli altri minoranti sono \(0,-1,-2,\dots\)).